————————————————————————————————————————
Счётная доска монгольских народов
Введение.
Математика XV и начала XVI веков испытывала огромные трудности при выполнении вычислений. Основные трудности концентрировались вокруг задач составления таблиц тригонометрических функций и определения значения числа π. Задачи математики были связаны с астрономией – изучением звёздного неба, составлением карт, календарей, а так же с вычислениями сложных процентов в финансово кредитном, страховом деле. В то время использовались в математике несовершенные системы счисления, а вычислительные средства ограничивались абаком и пальцевым счётом. Распространение современных цифр, использование счётной доски со второй половины XV века имело важнейшее значение в развитии математики. Выдающийся французский математик П. Лапласс писал: «Мысль выражать все числа немногими знаками, придавая им, кроме значения по форме, ещё значение по месту – настолько проста, что именно из-за простоты трудно оценить, насколько она удивительна». История счисления в бурят-монгольской математике изучена мало, потому проведение исследовательских работ в этой области является актуальным. Изучая историю математики, мы решили остановиться на истории счётной доски. Цель исследования заключалась в том, чтобы собрать, проанализировать, систематизировать материалы по истории этого счётного прибора.
В основу исследований поставленной проблемы положено изучение трудов ученых А.Юшкевича, К.Рыбникова, Г.Глейзера, И.Депмена, И.Виленкина по истории математики, монголоведов Н.Жуковской, Ш.Чимитдоржиева. В анализе современного состояния проблемы большую помощь оказали Я.Чимитова, З.Бадмаева. Существенную роль в наших исследованиях сыграли работы монгольского ученого Б.Батжаргала, в которых использовано содержание древних тибетских, санскритских, китайских, монгольских рукописей и ксилографов.
Наша гипотеза о том, что монгольские народы на протяжении веков использовали самобытный счетный прибор "зурхайн самбар" для математических и астрономических вычислений, имели интересные культурные традиции, связанные с ними, полностью подтвердилась.
Результаты исследования
Математика средневековой Монголии уже с ХIII в. развивалась как совокупность алгоритмов для решения математических, астрономических, астрологических задач - зурхай. С ХVI в. при решениях задач "зурхайши" - специалисты в буддийских храмах производили вычисления на покрытой песком счетной доске, называемой "зурхайн самбар". Б. Батжаргал, анализируя математические и астрономические труды средневековых учёных, пишет, что в конце XVI века монголы уже систематически применяли цифры, а в XVII – XVIII веках записывали и производили действия над числами в позиционной системе, однако знаки действия при вычислениях не ставились.
Истоки происхождения счетной доски историки математики относят к Индии, где вычисляли на счетной доске, покрытой песком или пеплом - "дхули карма", а то и прямо на земле. Возможно, с ценностями буддизма с XIII века проникли элементы индийской, тибетской, китайской культур и с тех пор монголы стали использовать для вычислений счётную доску. С другой стороны, в исследованиях Б. Батжаргала, сделанных на основе 74 древних рукописей, находим сообщение о том, что предки монголо-язычных племён – гунны использовали для вычисления особые доски.В странах Востока, а затем и в Европе узнали об индийской счетной доске из книги арабского ученого Мухаммеда из Хорезма "Книга об индийском счете". С этой книги началось знакомство с современными цифрами, введёнными в Индии в V – VII веках, и которыми пользуется весь мир, называя арабскими. Самое замечательное в индийском счете заключалось в том, что для подсчетов не нужен был абак - простейший счетный прибор, на котором решали, выкладывая камушки, зерна, бобы. Предлагалось производить вычисления на счетной доске по очень простым правилам с помощью десяти цифр.
Использование счетной доски стало возможным у монгольских народов с ХIII в. с введением десяти цифр, связанных с появлением единого монгольского государства и общемонгольской письменности. Цифры средневекового монгольского государства имели вид: 1 - ,2 - , 3 - , 4 - , 5 - , 6 - , 7 - , 8 - , 9 - , 0 - . Однако в письменной математике наряду с цифрами применялась древняя словесная десятичная система обозначения чисел. В словесной нумерации применялся и позиционный принцип, в котором одно и тоже слово в зависимости от места имело разное числовое обозначение; при этом названия разрядов опускались. Вместо числа 1025 могло быть написано: «солнце» - «пусто» - «глаза» - «стрела».
Способ счета группами по десять, идущий от счета пальцев рук, был известен у монгольских народов с незапамятных времен. Через десятичную систему государственного устройства прошли предки монгольских народов: гунны, сяньби, жужане, кидане. Эта система была в основе средневекового монгольского государства Их Монгол Улс. Степень десяти - тумэн, означающий "десять тысяч", входит в название рода хоринских бурят "хори - туматы" и монгольского рода "тумэты". Система десятичного исчисления, которой обладали монгольские народы, явилась одним из факторов эффективного использования счетной доски "зурхайн самбар". Использованию счетной доски предшествовали развитый устный счет (сээжээр бодолго) и счет на пальцах (хургаар бодолго). До недавнего времени монгольские купцы применяли пальцевый счет, в котором пальцам, суставам, различным загибам руки и жестам рук придавались определенные числовые значения и с их помощью производились арифметические действия.
Одним из основных мотивов развития математики является потребность религии в связи с составлением календаря для точного определения религиозных праздников, поэтому доска исчисления связана с буддийской религией и монгольским календарем -литэ. В народе сохранилась легенда об истории возникновения счетной доски, связанная с астрономией, астрологией и математикой.
В теплый летний день на берегу реки проходили три мужских игрища: национальная борьба, скачки, стрельба из лука. При стрельбе один из участников выстрелил в движущуюся мишень - животное, которое выползло из озера. Животное упало брюхом вверх и испускало дух. Подбежавшие молодые люди увидели черепаху, у которой надулся живот, выделялась моча, в конечностях было по горсти земли, из подмышечной впадины торчала деревянная стрела с металлическим наконечником. Стрелок оказался философом и выявил в черепахе все пять элементов мироздания: огонь, землю, воду, железо, дерево. Исследуя поверхность панциря черепахи, нашли его изображающим двенадцатилетний животный цикл, дающий в сочетании с пятью первоэлементами 60-летний круг летоисчисления - рабжун. В легенде говорится, что он по рисунку панциря мудрой черепахи сделал счетную доску. Эта легенда перекликается с текстом о сотворении мира, содержащимся в 108-томном буддийском трактате "Данчжур". Согласно буддийской вере Вселенная покоится на спине черепахи, а черепаха в народе символизирует долголетие, здоровье, счастье.
Единственная копия "зурхайн самбар" сохранилась до наших дней в архиве монастыря "Гандан тэчинлян" в г.Улаанбаатор Республики Монголия. Доска сделана из дерева размером 16х40 см. Верхняя часть (красная) означает огонь, 4 - (синяя) означает воду, 1 - означает землю. В ящике (2) хранится мельчайший песок, площадь доски (5) покрывается песком. Металлическое перо деревянной ручки, которым писали, являли собой дерево и железо. Длина ручки равна 32 см . Такая длина способствует улавливанию слухом начертания цифр. Написанные цифры удобно убирать безымянным пальцем, поэтому при начертании перо держат с таким расчетом, чтобы ручка находилась между средним и указательным пальцем.
В письменных источниках, дошедших до нас, отсутствуют описания правил вычисления на счетной доске, даются только ответы. Это характерно для математики народов Азии. Мы в ходе исследований изучили реконструкцию вычислений на счетной доске, выполненную Б.Батжаргалом на основании устных рассказов Зурхайч Доппинанцана. В Бурятии и Монголии до появления бумаги скотоводы успешно использовали счетную доску, покрытую песком, пеплом или обмазанную животным жиром.
Мы сделали счётную доску и научились выполнять действия. Сложение и вычитание отличаются от современного лишь отдельными деталями, обусловленными счётом на доске. При сложении и вычитании исходные числа записываются соответственно разрядом, как при современном счёте, но допускаются некоторые различия: 1. Действия производятся, начиная со старших, а не с младших разрядов, 2. Знаки действия не ставятся, 3. Ответы формируются в ходе вычислений в верхней строчке, при этом особое внимание обращается на переход через десяток, 4. Промежуточные результаты стираются в процессе счёта, так что непосредственную проверку выполнить невозможно. Мы поместили выполнение действий сложения и вычитания следующую таблицу:
645+87=732 512-89=423
Разность
4
43
42
423
Уменьшаемое
512
112
2
12
Вычитаемое
89
89
9
9
Сумма
6
62
72
722
732
Слагаемое
645
45
1 5
5
1
слагаемое
87
87
7
7
2 3 4 5 6 1 2 3 4 5
Умножение. Деление. Правила умножения (деления) описывают следующие таблицы, в которых особое внимание уделяется на размещение разрядов по столбцам. В первой строчке показано формирование произведения, начиная со старших разрядов.
12*9=108 279÷25=11 (ост 4)
Частное
1
11
11
Делимое
279
29
4
4
Делитель
25
25
25
Произведение
9
9
98
108
Множимое
12
2
2
1
Множитель
9
9
1 2 3 4 5 1 2 3 4
Исчисление на счетной доске имело особенность: из-за небольшого размера промежуточные вычисления не оставались. Потому кроме умения вычислять было важно уметь проверять результаты. Монгольские математики обладали самобытными способами не только выполнения действий, но и способами проверки с помощью свойств деления чисел на 9, 27, 67. Наиболее часто применялось проверка «9»: при делении числа на 9 должен получаться такой же остаток, что и при делении на 9 суммы цифр этого числа. Остаток назывался «богони тоо» - укороченное число.
Наши анализы показывают, что выполнение действий на «зурхайн самбар» не особенно отличались от индийских способов счёта. От современных арифметических действий их отличают лишь некоторые технические детали. Разучивание таблицы умножения у монгольских народов распеванием, начиная от умножения на единицу, схоже с разучиванием умножения в Китае. А способ проверки выполнения действий с помощью «9», которым мы овладели, вполне успешно может применяться в нашей школе, хотя и имеются некоторые известные недостатки этого способа, например, остаток от деления суммы цифр чисел 101 и 1001 на 9 одинаково равен 2. Использование счётной доски привело к внедрению национального счётного прибора – сампин, напоминающего китайские, японские, русские счёты.
Счетная доска "зурхайн самбар" является важным свидетельством истории науки. Ее использование сыграло огромную роль в развитии математики и астрономии монгольских народов. Развитие математики способствовало выявлению в XVI – XVIII вв. учёных – математиков Шихихутага, Тататунга, Гуулшинга, Мянгат и др. Одним из выдающихся математиков и астрономов был Мянгат из хушуна Шулуун Цагаан во Внутренней Монголии. Мянгату приписывается стотомная книга «Зуй тоглгын бурэн эх сурвалж» («Полный источник закономерности»), 1723 г., из которой японцы впервые познакомились с европейскими логарифмами. Мянгат был знаком с трудами выдающихся астрономов Западной Европы – Коперника, Кеплера, Браге, придерживался гелиоцентрической системы мира. Ему принадлежат четыре тома математических работ под общим названием «Краткий метод определения p через пересечение круга». Тогда же в средневековье был реформирован монгольский календарь на основе европейского. За начало летоисчисления был принят 1688 г. – «Год жёлтого Дракона», начало суток – 12 часов для (Морин саг), начало астрономического года – момент зимнего солнцестояния. Продолжительность года составила 365 хоног 21 хувь 88 чинлур 64 амьсгал – 365 дней 6 час. 21 мин. 88,64 с., т.е. 365,4036 суток. "Зурхайн самбар" оказал незаменимую помощь в написании таких трудов математиков средневековья, как "Колыбель древних мудрецов", "Вычисления при помощи взаимосвязанных величин" и др. Раннее использование десятичной позиционной системы счёта, счётной доски является примером высокого развития математики средневековой Монголии.
Литература:
Б. Батжаргал. Эртний монголын математик (Ранняя математика монголов). Улан-Батор, 1976
Г. Гейзер. История математики в школе. Москва, Просвещение, 1981
Детская энциклопедия. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Москва. Педагогика, 1972.
Ш. Чимитдоржиев. Кто мы бурят-монголы? Улан-Удэ, 1991.
Н. Жуковская. Число в монгольской культуре// Археология, этнография и антропология Монголии. Новосибирск, Наука, 1972.
А. Цыбиктаров. Бурятия в древности. Улан-Удэ, 1999.
————————————————————————————————————————
вернуться к списку работ секции