Обратитесь в турфирму в своем городе, через них оформите туристическую визу и узнаете, какие рейсы есть до Харбина. Можно доехать/долететь до Хабаровска, Благовещенска, Владивостока, а оттуда уже добраться в Харбин поездом, автобусом или самолетом. В Харбине пусть муж встретит и довезет до места.
Обратные билеты можете купить в России (сразу берите в оба конца), либо кУпите тут на месте, у вас же муж китаец, что он, в Китае не сориентируется?
На телефоне оформите роуминг, как приедете в Китай, купите тут симку местную. Звонить в Россию можно будет по IP-карточке, так дешевле (меньше юаня минута).
Сколько денег брать, сказать трудно, зависит от того, где будете жить и есть ли заработок у мужа. Я бы взяла пару-тройку тысяч долларов - часть наличными, часть на международной кредитке. Это не считая денег на билеты.
Про какую интернет-связь говорил ваш муж, я не поняла. Установите скайп на компьютере и общайтесь.
Может возникнуть проблема с вывозом ребенка из России: могут потребовать нотариально заверенное разрешение отца на вывоз. Но могут и не потребовать. Как повезет.
А почему мужу ограничили въезд? Он известил службы об утере паспорта? Ему должны были справку на выезд сделать. Или у него и до утери были нарушения?