Если вы будете базироваться в Тайбэе, то могу посоветовать такой график (чередовать можно как угодно
)
1 день: Тайбэй, площадь у мемориала Чан Кай-ши, горячие источники Бэйтоу, вечером - храм Луншань (очень красив в ночное время, старейший храм Тайбэя), рядом с ним - "змеиная улица" Хуаси-цзе - ночной рынок.
2 день: утро - музей Гугун, после обеда - небоскрёб Тайбэй 101. Потом можно погулять у мемориала Сунь Ят-сена, если будет желание и время - съездить в храм Конфуция, напротив него тоже очень интересный храм - Баоань-гун (туда, правда, удобней ехать из Гугуна - ближе).
3 день: Северное побережье Тайваня. Обязательно для посещения - Елю с его лунным пейзажем, очень красиво. Там же можно и отобедать свежими морепродуктами. Если есть машина - можно съездить на пляж в Байшавань или Фэйцуйвань (Green Bay).
4 день: с утра на поезде - в Хуалянь. Там прямо у вокзала берёте такси и едете в Тароко (мраморное ущелье), таксисты провозят по всему ущелью, по самым сценическим местам. Вечерним поездом - обратно в Тайбэй (2,5-3 часа)
5 день: можно съездить в Даньшуй на весь день - там есть старинный форт и рынок морепродуктов, красивый закат вечером на море, а можно на гору Маокун, где прохладно и хорошо и есть канатная дорога, на которой можно подняться на вершину горы (рядом с канатной дорогой - зоопарк, можно с утра там погулять, а потом - вверх на гору). На горе полагается пить чай, глядя сверху на Тайбэй. Ещё вариант - Янминшань, тоже гора, тоже красивые виды и прохлада. Плюс горячие источники. Но легко заблудиться.
6-7 день - Озеро Солнца и Луны - много интересных храмов, пагоды, павлины, свежая рыба. Можно обернуться в один день и вернуться в Тайбэй поздно ночью, можно остаться на ночь. Так же, как и в Тароко, возьмите такси и прокатитесь вокруг озера, с остановками у всех интересных мест (не помню, сколько стоит, 1200 НТД за 3 часа, или больше) На Алишань тоже можно съездить, но на дорогу уйдёт гораздо больше времени, и в сентябре там часто идут проливные дожди. Но если время есть и с погодой повезёт - очень рекомендую.
Если будет время, можно съездить в Тайнань, где самые старинные и интересные храмы, испанские форты и прочие, по местным масштабам, древности. Путь по скоростной железной дороге займёт часа полтора в один конец.